Question

已知如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN 是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E。
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明。

Answer 1

證明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形；
（2）例如，當AD=BC時，四邊形ADCE是正方形，
證明：∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴DC=BC，
又AD=BC，∴DC=AD，
由（1）知四邊形ADCE為矩形，
∴矩形ADCE是正方形。