Question

如圖，拋物線y=-x²+c與x軸分別交于點A、B，直線y=-x+過點B，與y軸交于點E，并與拋物線y=-x²+c相交于點C．
（1）求拋物線y=-x²+c的解析式；
（2）直接寫出點C的坐標；
（3）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動（不與點A、B重合），同時，點N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從點B向點C運動．設點M的運動時間為t秒，請寫出△MNB的面積S與t的函數關系式，并求出點M運動多少時間時，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）求出點B的坐標，代入拋物線解析式可求出c的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）聯立拋物線與直線解析式可求出交點坐標；
（3）求出sin∠EBO，過點N作NF⊥x軸于點F，繼而可表示出NF，根據S_△MNB=BM×NF，可求出S與t的函數關系式，利用配方法可求出最大值．
解答：解：（1）∵直線y=-x+過點B，
∴點B的坐標為（2，0），
將點B的坐標代入拋物線解析式可得：0=-×2²+c，
解得：c=3；
（2）聯立拋物線及直線解析式可得：，
解得：或，
故點C的坐標為（-1，）．
（3）由直線解析式可得點E坐標為（0，），
在Rt△BOE中，BE==，
則sin∠EBO==，
過點N作NF⊥x軸于點F，
設點M的運動時間為t秒，則AM=t，BN=2t，
則BM=4-t，NF=BN×sin∠EBO=t，
S_△MNB=BM×NF=（4-t）×t=-t²+t=-（t-2）²+（0＜t＜4），
故當t=2時，S取得最大，最大值為．
綜上可得：S=-t²+t，當點M運動2秒時，△MNB的面積最大，最大面積是．
點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式及拋物線與一次函數的交點問題，本題的難點在第三問，需要同學們利用三角函數的知識表述出△MNB的高，這類題目一般以壓軸題出現，同學們應注意培養自己解答綜合題的能力．