Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B、C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．
（1）點P在BC上運動的過程中y的最大值為

 

cm；
（2）當y=

1

4

cm時，求x的值為

 

cm．

Answer 1

分析：（1）不管P如何移動，都有△ABP∽△PCQ，根據比例線段可得到關于y的表達式，再根據二次函數來求出y的最大值．
（2）由y的值代入函數式即可求出x的值．

解答：解：（1）∵PQ⊥AP，∠CPQ+∠APB=90度．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴tan∠CPQ=tan∠BAP，
因此，點在BC上運動時始終有

BP

AB

=

CQ

PC

，
∵AB=BC=4，BP=x，CQ=y，
∴

x

4

=

y

4-x

，
∴y=-

1

4

（x²-4x）=-

1

4

（x²-4x+4）+1=-

1

4

（x-2）²+1（0＜x＜4），
∵a=-

1

4

＜0，
∴y隨x的增大而減小，y有最大值（當x=2時），y最大=1（cm）；

（2）由（1）知，y=-

1

4

（x²-4x）當y=

1

4

cm時，

1

4

=-

1

4

（x²-4x），
整理，得x²-4x+1=0，
∵b²-4ac=12＞0，
∴x=

-(-4)± 12

2

=2±

3

．
∵0＜2±

3

＜4，
∴當y=

1

4

cm時，x的值是（2+

3

）cm或（2-

3

）cm．

點評：本題主要運用了相似三角形的判定和性質，以及二次函數求最大值的內容和相關知識．