Question

如圖，在平面直角坐標系中，經過原點的直線a與x軸的正半軸的夾角為α，且sinα=

3

5

，A（0，4），動點P、Q分別從A、O點同時出發，點P的運動速度是每分鐘1個單位，終點是O，點Q的運動速度是每分鐘2個單位，沿x軸的正方向運動，當點P到達終點O時，點Q也停止運動，設運動時間為t分鐘．
（1）求直線a的解析式；
（2）當t為多少分鐘時，PQ⊥a；
（3）過P作PM∥x軸交直線a于M．①設△MQO的面積為S，試寫出S與t之間的函數關系，并求出當s=3時，t的值；②在P、Q運動過程中，你能猜想△MOQ為等腰三角形有多少種情況？并選擇兩種你認為簡單的情況求出t的值．

Answer 1

分析：（1）由sinα=

3

5

，即可得tanα=

3

4

，則可求得直線a的解析式；
（2）由直線a⊥PQ，PO⊥OQ，可求得∠OPQ=α，又由題意可得OQ=2t，OP=4-t，則可得方程tanα=

2t

4-t

=

3

4

，解此方程即可求得答案；
（3）①由OP=4-t，OQ=2t，即可得S=

1

2

•2t（4-t）=-t²+4t，又由S=3，得方程-t²+4t=3，解此方程即可求得t的值；
②首先過M作MN⊥x軸于N，則MN=OP=4-t，然后分別從OM=QM，OM=OQ，OQ=QM去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵sinα=

3

5

，
∴tanα=

3

4

，
∴直線a的解析式為：y=

3

4

x；

（2）∵直線a⊥PQ，PO⊥OQ，
∴∠OPQ+∠OQP=90°，∠OQP+α=90°，
∴∠OPQ=α，
根據題意得：OQ=2t，OP=4-t，
∴tanα=

2t

4-t

=

3

4

，
解得：t=

12

11

，
∴當t為

12

11

分鐘時，PQ⊥a；

（3）①∵OP=4-t，OQ=2t，
∴S=

1

2

•2t（4-t）=-t²+4t（0＜t＜4），
當S=3時，即-t²+4t=3，
解得：t=3或t=1；

②有三種情況．
過M作MN⊥x軸于N，則MN=OP=4-t，
當OM=QM時，ON=NQ=t，
∴tanα=

3

4

=

4-t

t

，
∴t=

16

7

；
當OM=OQ，OM=2t，
∴sinα=

MN

OM

=

4-t

2t

=

3

5

，
解得：t=

20

11

；
當OQ=MQ時，MQ=OQ=2t，
∵ON=

MN

tanα

=

16-4t

3

，
QN=2t-

16-4t

3

，
∵QM²=QN²+MN²，
∴（2t）²=（2t-

16-4t

3

）²+（4-t）²，
解得：t=

100

73

．
∴△MOQ為等腰三角形有3種情況，分別為t=

16

7

或t=

20

11

或t=

100

73

．

點評：此題屬于一次函數的綜合應用，考查了待定系數求函數解析式、三角形的面積問題、等腰三角形的性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．