Question

（2004•連云港）（1）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點，EF∥AB，且EF交BC于點F，某學生在研究這一問題時，發現如下事實：
①當時，有；
②當時，有；
③當時，有．
當時，參照上述研究結論，請你猜想用k表示EF的一般結論，并給出證明；
（2）現有一塊直角梯形田地ABCD（如圖所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要將這塊地分割成兩塊，由兩農戶來承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等．請你給出具體分割方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過構建相似三角形來求解．過點E作BC的平行線交AB于G，交CD的延長線于H．那么四邊形HCGB就是平行四邊形，HC=BG=EF，因此HD=EF-a，AG=b-EF，那么可根據相似三角形HED和GEA得出的關于DH，AG，DE，AE的比例關系式，即可求出所求的比例關系式；
（2）可按照（1）的思路進行求解．在AD上取一點E，作EF∥AB交BC于點F，可先設DE：AE=k，那么可用k表示出DE和EF的長．由于被EF平分的兩部分面積相等，因此梯形ABCD的面積=2×梯形DEFC的面積，由此可求出梯形DEFC的面積，然后根據DE，EF的長，表示出梯形DEFC的面積即可得出關于k的方程，經過解方程即可得出k的值，進而可確定具體的分割方案．
解答：解：（1）猜想得：EF=，
證明：過點E作BC的平行線交AB于G，交CD的延長線于H．

∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴，
又∵EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴，可得；

（2）在AD上取一點E，作EF∥AB交BC于點F，
設，
則EF=，，
若S_梯形DCFE=S_梯形ABFE，則S_梯形ABCD=2S_梯形DCFE，
∵梯形ABCD、DCFE為直角梯形，
∴×70=2××（170+）×，
化簡得12k²-7k-12=0解得：，（舍去），
∴DE==30，
所以只需在AD上取點E，使DE=30米，作EF∥AB（或EF⊥DA），
即可將梯形分成兩個直角梯形，且它們的面積相等．
點評：本題考查了梯形中輔助線的常規作法以及相似三角形的判定等知識點．在梯形中通過作輔助線來構建平行四邊形是常用的方法．