Question

如圖拋物線y=ax²+ax+c（a≠0）與x軸的交點為A、B（A在B的左邊）且AB=3，與y軸交于C，若拋物線過點E（-1，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸的下方是否存在一點P使得△PBC的面積為3？若存在求出P點的坐標，不存在說明理由；
（3）若D為原點關于A點的對稱點，F點坐標為（0，1.5），將△CEF繞點C旋轉，在旋轉過程中，線段DE與BF是否存在某種關系（數量、位置）？請指出并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=ax²+ax+c（a≠0）的對稱軸是x=-

a

2a

=-

1

2

，又因與x軸的交點為A、B（A在B的左邊）且AB=3，求出A、B點的坐標，解決第一問；
（2）因為S_△ABC=3，△PBC的面積是3，說明P點一定在過A點平行于BC的直線上，且一定是與拋物線的交點，因此求出過A點的直線，與拋物線聯立進一步求得答案；
（3）連接DC、BC，證明三角形相似，利用旋轉的性質解決問題．

解答：解：（1）因為拋物線y=ax²+ax+c（a≠0）的對稱軸是x=-

a

2a

=-

1

2

，AB=3，
所以A、B兩點的坐標為（-2，0）、（1，0），
又因為E（-1，2）在拋物線上，
代入y=ax²+ax+c
解得a=-1，c=2，
所以y=-x²-x+2；

（2）如圖
過A作BC的平行線交拋物線于點P，
∵設直線BC的解析式為：y=kx+b，
B點坐標為：（1，0），C點坐標為；（0，2），
∴

b=2 k+b=0

，
∴y=-2x+2，
∵A作BC的平行線交拋物線于點P，
∴y=-2x+b，將（-2，0）代入解析式即可得出，
所以過A點的直線為y=-2x-4，
∴兩函數的交點坐標為：
由-x²-x+2=-2x-4，
解得x₁=-2（舍去），x₂=3，
所以與拋物線的交點P為（3，-10）；

（3）連接DC、BC，
DC=2

5

，BC=

5

，CE=1，CF=0.5，
得

BC

CD

=

CF

CE

=

1

2

而夾角∠DCE=∠BCF，
∴△CDE∽△CFB，而∠ECF=90°，
∴DE⊥BF且DE=2BF．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的頂點公式、待定系數法、圖形的旋轉、相似三角形，滲透數形結合思想．