Question

對于一個自然數n，如果能找到自然數a（a＞0）和b（b＞0），使n-1=a+b+ab，則稱n為一個“十字相乘數”，例如：4-1=1+1+1×1，則4是一個“十字相乘數”，在1～20這20個自然數中，“十字相乘數”共有

 

個．

Answer 1

分析：先根據n-1=a+b+ab得出n=（a+1）（b+1），再分兩種情況進行討論，當a=b、a≠b時，分別求出a的值，即可得出在1～20這20個自然數中，“十字相乘數”共有多少個．

解答：解：由n-1=a+b+ab可知，n=a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
當a=b時，“十字相乘數”可取4，9，16這3個數；
當a≠b時，不妨設a＞b，則
若b=2時，則a＞2，且a+1≤

20

3

，a≤

17

3

=5

2

3

，
故a=3，4，5，此時“十字相乘數”為12，15，18；
若b=3時，則a＞3，且a+1≤

20

4

，
a≤4，故a=4，此時“十字相乘數”為20；
若b＞3，不合題意；
同理可得出：當a=1，b=2或3或4或6時，n=6或8或10或14，
故符合題意的“十字相乘數”一共有11個．
故答案為：11．

點評：本題考查的是因式分解的應用，解答此題的關鍵是根據n-1=a+b+ab得出n=（a+1）（b+1），在解題時要注意分類討論，不要漏解．