Question

如圖，二次函數y=x²-x+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點，頂點M關于x軸的對稱點是M′．
（1）若A（-4，0），求二次函數的關系式；
（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM′的面積；
（3）是否存在拋物線y=x²-x+c，使得四邊形AMBM′為正方形？若存在，請求出此拋物線的函數關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A的坐標代入二次函數解析式，計算求出c的值，即可得解；
（2）把二次函數解析式整理成頂點式解析式，根據二次函數的對稱性求出點B的坐標，從而求出AB的長，再根據頂點坐標求出點M到x軸的距離，然后求出△ABM的面積，根據對稱性可得S_{四邊形AMBM′}=2S_△ABM，計算即可得解；
（3）令y=0，得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出AB的長度，根據拋物線解析式求出頂點M的縱坐標，然后根據正方形的對角線互相垂直平分且相等列式求解，如果關于c的方程有解，則存在，否則不存在．
解答：解：（1）∵A（-4，0）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，
∴×（-4）²-（-4）+c=0，
解得c=-12，
∴二次函數的關系式為y=x²-x-12；

（2）∵y=x²-x-12，
=（x²-2x+1）--12，
=（x-1）²-，
∴頂點M的坐標為（1，-），
∵A（-4，0），對稱軸為x=1，
∴點B的坐標為（6，0），
∴AB=6-（-4）=6+4=10，
∴S_△ABM=×10×=，
∵頂點M關于x軸的對稱點是M′，
∴S_{四邊形AMBM′}=2S_△ABM=2×=125；

（3）存在拋物線y=x²-x-，使得四邊形AMBM′為正方形．
理由如下：令y=0，則x²-x+c=0，設點AB的坐標分別為A（x₁，0）B（x₂，0），
則x₁+x₂=-=2，x₁•x₂==2c，
所以，AB==，
點M的縱坐標為：==，
∵頂點M關于x軸的對稱點是M′，四邊形AMBM′為正方形，
∴=2×，
整理得，4c²+4c-3=0，
解得c₁=，c₂=-，
又拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=b²-4ac=（-1）²-4×c＞0，
解得c＜，
∴c的值為-，
故，存在拋物線y=x²-x-，使得四邊形AMBM′為正方形．
點評：本題綜合考查了二次函數的問題，主要利用了待定系數法求函二次數解析式，二次函數的頂點坐標的求解，二次函數的對稱性，以及正方形的對角線互相垂直平分且相等的性質，綜合題，但難度不是很大，（3）中要注意根據拋物線與x軸有兩個交點，利用根的判別式求出c的取值范圍，否則容易多解而導致出錯．