Question

（2009•廣東）在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，AC=6．過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E．
（1）求△BDE的周長；
（2）點P為線段BC上的點，連接PO并延長交AD于點Q．求證：BP=DQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為菱形的對角線互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四邊形的判定及性質就可以求出△BDE的周長；
（2）容易證明△BOP≌△DOQ，再利用它們對應邊相等就可以了．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=3
∴OB==4，BD=2OB=8，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴CE=AD=BC=5，DE=AC=6，
∴△BDE的周長是：BD+BC+CE+DE=8+10+6=24．

（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠QDO=∠PBO，
∵在△BOP和△DOQ中
，
∴△BOP≌△DOQ（ASA），
∴BP=DQ．
點評：本題主要利用菱形的對角線互相垂直平分及勾股定理來解決，也考查了全等三角形的判定及性質．