Question

在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，點D、E分別在AB、AC上，且DE將△ABC的周長分成相等的兩部分．設AE=x，AD=y，△ADE的面積為S．
（1）求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）求出S關于x的函數關系式；試判斷S是否有最大值，若有，則求出其最大值，并指出此時△ADE的形狀；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵DE平分△ABC的周長，
∴AD+AE==12，即y+x=12，
∴y關于x的函數關系式為：y=12-x（2≤x≤6）．

（2）過點D作DF⊥AC，垂足為F，
∵6²+8²=10²，即AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴sin∠A=，即
∴DF=
∴S=•AE•DF=•x•=-x²+x
=-（x-6）²+，
故當x=6時，S取得最大值，
此時，y=12-6=6，即AE=AD．
因此，△ADE是等腰三角形．
分析：（1）根據DE平分三角形ABC的周長，可得出的條件是AD+AE=BD+BC+CE，可先用x、y表示出CE、BD的長，然后根據上面得出的等量關系來求出yx的函數關系式．然后根據CE、AE的長均不為負數來求出x的取值范圍．
（2）求三角形ADE的面積，需要知道底邊和高的長，已知了底邊AE=x，關鍵是求出底邊AE上的高，過D作DF⊥AE于F，可在直角三角形ADF中，根據∠A的正弦值，用AD的長表示出DF的值．然后根據三角形的面積公式可得出關于S、x、y的函數關系式，將（1）得出的關于x，y的函數關系式代入剛剛得出的函數式中即可得出關于S、x的函數關系式．
然后可根據函數的性質得出S的最大值以及對應的x的取值，有了x的值，即可通過此時AE、AD的長來判斷出三角形ADE的形狀．
點評：本題結合了三角形的相關知識考查了二次函數的應用，根據題中的條件得出x，y的函數關系式是解題的關鍵．