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已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點(x1,0)、(2,0),且-2<x1<-1,與y軸正半軸的交點在(0,2)的下方,則下列結論:①abc<0;②b2>4ac;③2a+b+1<0;④2a+c>0.則其中正確結論的序號是( )
A.①②
B.②③
C.①②④
D.①②③④
【答案】分析:由于拋物線過點(x1,0)、(2,0),且-2<x1<-1,與y軸正半軸相交,則得到拋物線開口向下,對稱軸在y軸右側,于是可判斷a<0,b>0,c>0,所以abc<0;利用拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac>0,即b2>4ac;由于x=2時,y=0,即4a+2b+c=0,變形得2a+b+=0,則根據0<c<2得2a+b+1>0;根據根與系數的關系得到2x1=,即x1=,所以-2<<-1,變形即可得到2a+c>0.
解答:解:如圖,
∵二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點(x1,0)、(2,0),且-2<x1<-1,與y軸正半軸相交,
∴a<0,c>0,對稱軸在y軸右側,即x=->0,
∴b>0,
∴abc<0,所以①正確;
∵拋物線與x軸有兩個交點,
∴b2-4ac>0,即b2>4ac,所以②正確;
當x=2時,y=0,即4a+2b+c=0,
∴2a+b+=0,
∵0<c<2,
∴2a+b+1>0,所以③錯誤;
∵二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點(x1,0)、(2,0),
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1,2,
∴2x1=,即x1=
而-2<x1<-1,
∴-2<<-1,
∵a<0,
∴-4a>c>-2a,
∴2a+c>0,所以④正確.
故選C.
點評:本題考查了二次函數的圖象與系數的關系:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線,當a>0,拋物線開口向上;對稱軸為直線x=-;拋物線與y軸的交點坐標為(0,c);當b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0,拋物線與x軸有一個交點;當b2-4ac<0,拋物線與x軸沒有交點.
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(C)-1和3是方程ax²+bx+c=0(c ≠0)的兩個根

(D)當x<1時,y隨x的增大而增大

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