Question

如圖，已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，EF＝BE，∠BEF＝90°，按圖①放置，使點F在BC上，取DF的中點G，連EG 、CG.

　　(1)探索EG、CG的數量關系，并說明理由；

　　（2）將圖①中△BEF繞B點順時針旋轉45°得圖②，連結DF,取DF的中點G，問（1）中的結論是否成立，并說明理由；

　　（3）將圖①中△BEF繞B點轉動任意角度（旋轉角在0到90°之間）得圖③，連結DF，取DF的中點G ，問（1）中的結論是否成立，請說明理由.

Answer 1

（1）EG=CG.

　　證明：∵∠DEF=∠DCF=90⁰,DG=GF,

　　∴EG＝DF＝CG. ……3分

　　（２）EG=CG.

　　證明：過點F作BC的平行線交DC的延長線于點M, 連結MG.

　　易證EFMC為矩形，∴EF=CM.

　　在直角三角形FMD中，DG=GF,

　　∴FG=GM=GD.

　　∴∠GFM=∠GMF.

　　∴∠EFG=∠GMD

　　 ∴△EFG≌△GCM.

　　∴EG=CG. ……7分

　　(3)取BF的中點H,連結EH，GH,取BD的中點O,連結OG,OC.

　　∵CB=CD,∠DCB=90⁰,

　　∴CO＝BD.

　　∵DG=GF,

　　∴GH∥BD，且GH＝BD.

　　∴OG∥BF，且OG＝BF.

　　∴CO=GH.

　　∵△BEF為等腰直角三角形，

　　∴EH＝BF.

　　∴EH=OG.

　　∵四邊形OBHG為平行四邊形，

　　∴∠BOG=∠BHG.

　　∵∠BOC=∠BHE=90°,

　　∴∠GOC=∠EHG.

　　∴△GOC≌△EHG.

　　∴EG=GC.