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已知正方形紙片ABCD的邊長為2.如圖,將正方形紙片折疊,使頂點A落在邊CD上的點P處(點P與C、D不重合),折痕為EF,折疊后AB邊落在PQ的位置,PQ與BC交于點G.
(1)求證:△DEP與△CPG相似;
(2)當點P位于CD中點時,求:△DEP與△CPG周長的比;
(3)在(2)的條件下,求證:以P為圓心,以1為半徑的圓與直線EG相切.
分析:(1)根據題意,∠EPG=90°,可得∠EPD+∠CPG=90°,又∠EPD+∠PED=90°,所以∠CPG=∠PED.加上∠C=∠D,可得△EDP∽△PCG;
(2)根據相似三角形性質求解.因為CP=1,所以需求對應邊DE的長度.設DE=x,則AE=EP=2-x,根據勾股定理可求;
(3)連接EG,過P作PH⊥EG交于H,由(2)中的數據利用勾股定理分別求出PG和EG的長,根據直角三角形EPG的面積等于
1
2
PE•PG=
1
2
PH•EG,從而可求出PH的長為1,恰好為圓的半徑,所以以P為圓心,以1為半徑的圓與直線EG相切.
解答:(1)證明:(如圖1所示)
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
由折疊知∠EPQ=∠A=90°,
∴∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3.
∴△DEP∽△CPG;

(2)解:(如圖2所示)
∵四邊形ABCD是正方形,AB=2,
∴AB=BC=CD=DA=2.
設AE=x,則ED=2-x,EP=x.
∵P是CD的中點,
∴DP=PC=1.
在Rt△EDP中,∠D=90°,
根據勾股定理得:x2=(2-x)2+1,
解得 x=
5
4

∴ED=
3
4

∵△PCG∽△EDP,
PC
ED
=
1
3
4
=
4
3

∴△DEP與△CPG周長的比是3:4;
(3)證明:連接EG,過P作PH⊥EG交于H,(如圖2)
∵△PCG∽△EDP,
PC
DE
=
CG
DP

1
3
4
=
CG
1

∴CG=
4
3

∴PG=
CG2+CP2
=
5
3

∵AE=EP=
5
4

∴EG=
PE2+PG2
=
25
12

∴PH=
PE•PG
EG
=
5
4
×
5
3
25
12
=1,
∴圓心到直線的距離等于1,
∴以P為圓心,以1為半徑的圓與直線EG相切.
點評:此題考查了翻折變換、勾股定理及正方形的性質以及相似三角形的判定和性質和圓的切線的判定,綜合性較強,解答本題的關鍵是要求我們熟練勾股定理在解直角三角形中的應用,及翻折變換的性質,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•路南區一模)已知:有一紙片如圖,其中△ABC中,AD⊥BC,垂足為點D,BD=CD,點M在BA的延長線上.實施操作:將紙片沿一直線AN折疊,使AM和AC重合,并且過點C作CE⊥AN,垂足為點E.
(1)請用尺規,在圖中畫出折線AN;(保留作圖痕跡)
(2)將圖形補全,求證:四邊形ADCE為矩形;
(3)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是一個正方形?直接寫出結論.

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科目:初中數學 來源: 題型:

下列說法
①如圖1,扇形OAB的圓心角∠AOB=90°,OA=6,點C是
AB
上異于A、B的動點,過點C作CD⊥OA于D,作CE⊥OB于E,連接DE,點G在線段DE上,且DG=
1
3
DE
,連接CG.當點C在
AB
上運動時,在CD、CG、DG中,長度不變的是DG;
②如圖2,正方形紙片ABCD的邊長為8,⊙O的半徑為2,圓心O在正方形的中心上,將紙片按圖示方式折疊,折疊后點A于點H重合,且EH切⊙O于點H,延長FH交CD邊于點G,則HG的長為
19
3

③已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,則其內心和外心之間的距離是
5
cm

其中正確的有
①②
①②
 (請寫序號,少選,錯選均不得分)

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC紙片上可按如圖所示方式剪出一正方體表面展開圖,直角三角形的兩直角邊與正方體展開圖左下角正方形的邊共線,斜邊恰好經過兩個正方形的頂點.已知BC=24cm,則這個展開圖可折成的正方體的體積為(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖1,將等腰直角三角形紙片ABC沿底邊上的高CD剪開,得到兩個全等的三角形△ADC,△BDC,已知AC=4.
(1)求AB的長;
(2)將△ADC繞點D順時針旋轉得到△A′DC′,DC′交BC于點E(如圖2).設旋轉角為β(0°<β<90°).當△DBE為等腰三角形時,求β的值.
(3)若將△DBC沿BA方向平移得到△D′B′C′(如圖3),C′D′與AC交于點F,B′C′與DC交于點H.四邊形DD′FH能否為正方形?若能,求平移的距離是多少;若不能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源:2012-2013學年江西省景德鎮市八年級下學期期末質量檢測數學試卷(帶解析) 題型:單選題

如圖,在Rt△ABC紙片上可按如圖所示方式剪出一正方體表面展開圖,直角三角形的兩直角邊與正方體展開圖左下角正方形的邊共線,斜邊恰好經過兩個正方形的頂點。已知BC=24cm,則這個展開圖可折成的正方體的體積為(   ) 

A.64cm3B.27cm3C.9cm3D.8cm3

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同步練習冊答案
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