Question

已知正方形紙片ABCD的邊長為2．如圖，將正方形紙片折疊，使頂點A落在邊CD上的點P處（點P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G．
（1）求證：△DEP與△CPG相似；
（2）當點P位于CD中點時，求：△DEP與△CPG周長的比；
（3）在（2）的條件下，求證：以P為圓心，以1為半徑的圓與直線EG相切．

Answer 1

分析：（1）根據題意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根據相似三角形性質求解．因為CP=1，所以需求對應邊DE的長度．設DE=x，則AE=EP=2-x，根據勾股定理可求；
（3）連接EG，過P作PH⊥EG交于H，由（2）中的數據利用勾股定理分別求出PG和EG的長，根據直角三角形EPG的面積等于

1

2

PE•PG=

1

2

PH•EG，從而可求出PH的長為1，恰好為圓的半徑，所以以P為圓心，以1為半徑的圓與直線EG相切．

解答：（1）證明：（如圖1所示）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊知∠EPQ=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3．
∴△DEP∽△CPG；

（2）解：（如圖2所示）
∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2．
設AE=x，則ED=2-x，EP=x．
∵P是CD的中點，
∴DP=PC=1．
在Rt△EDP中，∠D=90°，
根據勾股定理得：x²=（2-x）²+1，
解得 x=

5

4

，
∴ED=

3

4

，
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

ED

=

1 3

4

=

4

3

，
∴△DEP與△CPG周長的比是3：4；
（3）證明：連接EG，過P作PH⊥EG交于H，（如圖2）
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

DE

=

CG

DP

，
∴

1

3 4

=

CG

1

，
∴CG=

4

3

，
∴PG=

CG2+CP2

=

5

3

，
∵AE=EP=

5

4

，
∴EG=

PE2+PG2

=

25

12

，
∴PH=

PE•PG

EG

=

5 4 × 5 3

25 12

=1，
∴圓心到直線的距離等于1，
∴以P為圓心，以1為半徑的圓與直線EG相切．

點評：此題考查了翻折變換、勾股定理及正方形的性質以及相似三角形的判定和性質和圓的切線的判定，綜合性較強，解答本題的關鍵是要求我們熟練勾股定理在解直角三角形中的應用，及翻折變換的性質，難度較大．