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精英家教網在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,點D、E分別在AB、AC上,且DE將△ABC的周長分成相等的兩部分.設AE=x,AD=y,△ADE的面積為S.
(1)求出y關于x的函數關系式,并寫出x的取值范圍;
(2)求出S關于x的函數關系式;試判斷S是否有最大值,若有,則求出其最大值,并指出此時△ADE的形狀;若沒有,請說明理由.
分析:(1)根據DE平分三角形ABC的周長,可得出的條件是AD+AE=BD+BC+CE,可先用x、y表示出CE、BD的長,然后根據上面得出的等量關系來求出yx的函數關系式.然后根據CE、AE的長均不為負數來求出x的取值范圍.
(2)求三角形ADE的面積,需要知道底邊和高的長,已知了底邊AE=x,關鍵是求出底邊AE上的高,過D作DF⊥AE于F,可在直角三角形ADF中,根據∠A的正弦值,用AD的長表示出DF的值.然后根據三角形的面積公式可得出關于S、x、y的函數關系式,將(1)得出的關于x,y的函數關系式代入剛剛得出的函數式中即可得出關于S、x的函數關系式.
然后可根據函數的性質得出S的最大值以及對應的x的取值,有了x的值,即可通過此時AE、AD的長來判斷出三角形ADE的形狀.
解答:精英家教網解:(1)∵DE平分△ABC的周長,
∴AD+AE=
6+8+10
2
=12,即y+x=12,
∴y關于x的函數關系式為:y=12-x(2≤x≤6).

(2)過點D作DF⊥AC,垂足為F,
∵62+82=102,即AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°
∴sin∠A=
BC
AB
=
DF
AD
,即
8
10
=
DF
12-x

∴DF=
48-4x
5

∴S=
1
2
•AE•DF=
1
2
•x•
48-4x
5
=-
2
5
x2+
24
5
x
=-
2
5
(x-6)2+
72
5

故當x=6時,S取得最大值
72
5

此時,y=12-6=6,即AE=AD.
因此,△ADE是等腰三角形.
點評:本題結合了三角形的相關知識考查了二次函數的應用,根據題中的條件得出x,y的函數關系式是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

在△ABC中,AC=8,BC=6,AB=10,則△ABC的外接圓半徑長為(  )
A、10B、5C、6D、4

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精英家教網如圖,在△ABC中,AC=
 

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科目:初中數學 來源: 題型:

17、在△ABC中,AC=5,中線AD=4,那么邊AB的取值范圍為(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,AC與⊙O相切于點A,AC=AB=2,⊙O交BC于D.
(1)∠C=
45
45
°;
(2)BD=
2
2

(3)求圖中陰影部分的面積(結果用π表示).

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•松江區二模)如圖,已知在△ABC中,AC=15,AB=25,sin∠CAB=
45
,以CA為半徑的⊙C與AB、BC分別交于點D、E,聯結AE,DE.
(1)求BC的長;
(2)求△AED的面積.

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