Question

如圖所示，矩形ABCD中，點E在CB的延長線上，使CE=AC，連接AE，點F是AE的中點，連接BF、DF，求證：BF⊥DF．

Answer 1

【答案】分析：延長BF，交DA的延長線于點M，連接BD，進而求證△AFM≌△EFB，得AM=BE FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，進而求得BD=BM，根據等腰三角形三線合一的性質即可求證BF⊥DF．
解答：證明：延長BF，交DA的延長線于點M，連接BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，FB=FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE=AC，
∴AC=BD=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．
點評：本題考查了矩形各內角為直角的性質，全等三角形的判定和對應邊相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，本題中求證DB=DM是解題的關鍵．