Question

如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．
（l）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD=，求扇形0AC的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明CD是⊙O的切線，即證明OC⊥CD．連接OC，由AC=CD，∠D=30°，則∠A=∠D=30°，得到∠COD=60°，所以∠OCD=90°；
（2）由（1）得△OCD是直角三角形，由特殊角的三角函數求出圓的半徑再代入扇形的面積公式即可求出扇形0AC的面積．
解答：（1）證明：連接OC，
∵AC=CD，且∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=∠ACO+∠A=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴DC是⊙O的切線；

（2）由（1）得△OCD是直角三角形，
∵在Rt△OCD中，CD=3，∠D=30°，
∴OC=CD tan30°=3×=3，
∴S_扇形OAC=．
點評：本題考查了圓的切線的判定方法和扇形的面積公式．經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．