Question

如圖，已知直線與 x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C和點(diǎn)B（-1，0）。
（1）求拋物線的解析式。
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形AOCM的面積。
（3）若有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D 以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OA 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線O-C-A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒。
①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在DE∥OC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②△ODE的面積為S，求S 關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t 的取值范圍。
[提示：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

Answer 1

解：（1）對(duì)于，令x=0，則y=4；令y=0，則x=3
∴A（3，0），C（0，4）
∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，4）
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，                                  
又∵ 該拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，0），（-1，0），
∴解之得
∴所求拋物線的解析式為。                          
（2）∵，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，）如圖，過(guò)點(diǎn) M作MF⊥x軸于F，
∴，
∴四邊形AOCM 的面積為10。                                        
 
（3）①不存在DE∥OC理由：若DE∥OC，
則點(diǎn)D、E應(yīng)分別在線段OA、CA上，
此時(shí)1<t<2在Rt△AOC中，AC=5。
設(shè)點(diǎn) E的坐標(biāo)為∵DE∥OC，
∴，∴，                                        
∴，不滿足1<t<2，
∴ 不存在DE∥OC。                                                
②分兩種情況討論：
i )當(dāng)0<t≤1時(shí)，                               
ii )當(dāng)1<t≤2時(shí)，如圖，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₁，y₂），
∴，∴，
∴。