Question

如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知點B的坐標為（3，0）．
（1）求a的值和拋物線的頂點坐標；
（2）分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點M，使△AMC與△ABC的面積相等；
（3）設N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|AN-CN|．探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-x+2經過點B（3，0），
∴9a-×3+2=0，
解得a=-，
∴y=-x²-x+2，
∵y=-x²-x+2=-（x²+3x）+2=-（x+）²+，
∴頂點坐標為（-，）；

（2）∵拋物線y=-x²-x+2的對稱軸為直線x=-，
與x軸交于點A和點B，點B的坐標為（3，0），
∴點A的坐標為（-6，0）．
又∵當x=0時，y=2，
∴C點坐標為（0，2）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則，解得，
∴直線AC的解析式為y=x+2．
∵S_△AMC=S_△ABC，
∴點B與點M到AC的距離相等，
又∵點B與點M都在AC的下方，
∴BM∥AC，
設直線BM的解析式為y=x+n，
將點B（3，0）代入，得×3+n=0，
解得n=-1，
∴直線BM的解析式為y=x-1．
由，解得，，
∴M點的坐標是（-9，-4）；

（3）在拋物線對稱軸上存在一點N，能夠使d=|AN-CN|的值最大．理由如下：
∵拋物線y=-x²-x+2與x軸交于點A和點B，
∴點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱．
連接BC并延長，交直線x=-于點N，連接AN，則AN=BN，此時d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．
設直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點的坐標代入，
得，，
∴直線BC的解析式為y=-x+2，
當x=-時，y=-×（-）+2=3，
∴點N的坐標為（-，3），d的最大值為BC==．
分析：（1）先把點B的坐標代入y=ax²-x+2，可求得a的值，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標；
（2）先由拋物線的解析式y=-x²-x+2，求出與x軸的交點A的坐標，與y軸的交點C的坐標，再由△AMC與△ABC的面積相等，得出這兩個三角形AC邊上的高相等，又由點B與點M都在AC的下方，得出BM∥AC，則點M既在過B點與AC平行的直線上，又在拋物線y=-x²-x+2上，所以先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+2，再設直線BM的解析式為y=x+n，將點B（3，0）代入，求出n的值，得到直線BM的解析式為y=x-1，然后解方程組，即可求出點M的坐標；
（3）連接BC并延長，交拋物線的對稱軸x=-于點N，連接AN，根據軸對稱的性質得出AN=BN，并且根據三角形三邊關系定理得出此時d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．運用待定系數法求出直線BC的解析式，再將x=-代入，求出y的值，得到點N的坐標，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，二次函數的性質，三角形的面積，軸對稱的性質等知識，難度適中．其中第（2）小題根據三角形的面積公式及平行線的性質得出BM∥AC是關鍵，第（3）小題根據軸對稱及三角形三邊關系定理確定點N的位置是關鍵．