Question

如圖，B，C，E是同一直線上的三個點，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形．連接BG，DE．
（1）觀察猜想BG與DE之間的關系，并證明你的猜想；
（2）圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請指出，并說出旋轉過程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）猜想BG⊥BD，且BG=DE，證明：延長BG與DE交于H點，則根據∠DGH+∠GDH=90°可以證明∠DHG=90°，即BG⊥DE；
（2）存在，△BCG和△DCE可以通過旋轉重合．求證△BCG≌△DCE即可．
解答：證明：（1）延長BG與DE交于H點，
BG⊥BD，且BG=DE．
在直角△BCG中，BG=，
在直角△DCE中，DE=，
∵BC=DC，CG=CE，
∴BG=DE．
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC，BG=DE，
又∵∠BGC=∠DGH，∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠DHG=90°，
故BG⊥DE，且BG=DE．

（2）存在，△BCG≌△DCE，（1）中已證明，
且△BCG和△DCE有共同頂點C，則△DCE沿C點旋轉向左90°與△BCG重合．
點評：本題考查了全等三角形的證明，考查了正方形各邊相等且各內角為90°的性質，本題中求證△BCG≌△DCE是解題的關鍵．