Question

（2009•營口）如圖，已知△ABC中，∠C=∠ABC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）如果BC=10，CE=4，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據等腰三角形的性質或平行線的性質易得OD⊥DE，故DE與⊙O相切．
（2）本題方法較多，需連接AD，分析圖形，通過相似三角形的性質或三角函數的定義求出AB的值即可．
解答：解：
（1）方法一：DE與⊙O相切；（1分）
理由：連接OD，（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠BDO=∠C；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，（4分）
∴∠EDO=180°-（∠BDO+∠CDE）=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．（5分）
方法二：DE與⊙O相切；（1分）
理由：連接OD；（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC，（4分）
∴∠EDO=∠CED；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．（5分）

（2）方法一：連接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥BC；（7分）
∴BD=CD=BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°；
在Rt△CDE中，cosC=，
在Rt△ACD中，cosC=，
∴，（9分）
即；
∴AC=，
∴AB=．（10分）

方法二：連接AD．（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，（7分）
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=5．（8分）
在Rt△CDE中，cosC=，
在Rt△ADB中，cos∠ABD=，
又∵∠C=∠ABC，
∴，
即；（9分）
∴AB=．（10分）

方法三：連接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴CD=BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CDA；
又∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，（9分）
∴，即，
∴CA=；
∴AB=．（10分）

方法四：連接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴BD=CD=BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ADB；
又∵∠C=∠ABC，
∴△CED∽△BDA，（9分）
∴，
即，
∴AB=．（10分）
點評：本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定與性質以及三角函數等知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．要注意連接過切點的半徑與構造直徑所對的圓周角是圓中的常見輔助線．