Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BOC=108°，過點C作直線CD分別交直線AB和⊙O于點D、E，連接OE，DE=AB，OD=2。
（1）求∠CDB的度數；
（2）我們把有一個內角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金分割比。
①求弦CE的長；
②在直線AB或CD上是否存在點P（點C、D除外），使△POE是黃金三角形？若存在，畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，DE=AB， ∴OA=OC=OE=DE， 則∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC， 設∠CDB=x，則∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x， 又∠BOC=108°， ∴∠CDB+∠OCD=108°， ∴x+2x=108°，x=36°， ∴∠CDB=36°；
（2）①∵∠COB=108°， ∴∠COD=72°， 又∠OCD=2x=72°， ∴∠OCD=∠COD， ∴OD=CD， ∴△COD是黃金三角形， ∴， ∵OD=2， ∴OC=-1， ∵CD=OD=2，DE=OC=-1， ∴CE=CD-DE=2-（-1）=3-； ②存在，有三個符合條件的點P1、P2、P3（如圖所示）， （ⅰ）以OE為底邊的黃金三角形：作OE的垂直平分線分別交直線AB、CD得到點P1、P2； （ ⅱ）以OE為腰的黃金三角形：點P3與點A重合。