Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=m﹣|x﹣1|，（m＞0），且f（x+1）≥0的解集為[﹣3，3]． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足 ，求證：a+2b+3c≥3．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：因?yàn)閒（x+1）=m﹣|x|， 所以f（x+1）≥0等價(jià)于|x|≤m，
由|x|≤m，得解集為[﹣m，m]，（m＞0）
又由f（x+1）≥0的解集為[﹣3，3]，故m=3．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知 ，
又∵a，b，c是正實(shí)數(shù)，
∴a+2b+3c= ．
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，
所以a+2b+3c≥3．
【解析】（Ⅰ）f（x+1）≥0等價(jià)于|x|≤m，求出解集，利用f（x+1）≥0的解集為[﹣3，3]，求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，利用柯西不等式即可證明．
【考點(diǎn)精析】利用二維形式的柯西不等式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．