Question

在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（0，3）．點P從點A出發，以每秒1個單位的速度向右平移，點Q從點B出發，以每秒2個單位的速度向右平移，又P、Q兩點同時出發．
（1）連接AQ，當△ABQ是直角三角形時，求點Q的坐標；
（2）當P、Q運動到某個位置時，如果沿著直線AQ翻折，點P恰好落在線段AB上，求這時∠AQP的度數．

Answer 1

分析：（1）分∠BAQ=90°和∠BQA=90°兩種情況討論，前者利用△AOB∽△BAQ，得出BQ=

25

4

，后者可根據等腰直角三角形的性質得到BQ=OA=4，從而求出Q點的坐標；
（2）點E作EF⊥BQ，垂足為點E，過點Q作QH⊥OP，垂足為點H，根據翻折不變性及BQ∥OP，得到△EQF≌△PHQ，從而得到∠EQF=∠PQH，又因為∠PQE=90°故∠AQP=∠AQE=45°．

解答：解：（1）根據題意，可得：A（4，0）、B（0，3）、AB=5，
ⅰ）當∠BAQ=90°時，△AOB∽△BAQ，

∴

BQ

AB

=

AB

AO

，解得BQ=

25

4

．
ⅱ）當∠BQA=90°時，BQ=OA=4，
∴Q(

25

4

，3)或（4，3）；

（2）設點P翻折后落在線段AB上的點E處，

則∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP，
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，
∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5，
∴AP=

1

2

BQ=

5

2

，
∴AE=AP=

5

2

=

1

2

AB，即點E是AB的中點．
過點E作EF⊥BQ，垂足為點E，過點Q作QH⊥OP，垂足為點H，則EF=

3

2

，PH=

3

2

，
∴EF=PH，
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，
從而∠PQE=90°，
∴∠AQP=∠AQE=45°．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，同時涉及翻折不變性及線段的中點，解答時要靈活運用分類討論的數學思想．