Question

如圖，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，將△ABC繞點C逆時針旋轉角α。（0º＜α＜90º）得到△A₁B₁C₁，連結BB₁.設CB₁交AB于D，A₁B₁分別交AB、AC于E、F。

（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）當△BB₁D是等腰三角形時，求α；
（3）當α＝60º時，求BD的長。

Answer 1

解：（1）全等的三角形有：
等。（只需寫一個即可）
以證為例：
證明：

     
（2）在△CBB₁中，∵CB=CB₁，
又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°      
①若，則∠B₁DB=∠B₁BD，∵∠B₁DB=45°+α

（舍去）
②，即BD≠B₁D     
③若BB₁=BD，則，即  
由①②③可知，當△BB₁D為等腰三角形時，α=30°      
（3）作DG⊥BC于G，設CG=x
在Rt△CDG中，
在Rt△DGB中，
       
   

解析