Question

如圖，點C在線段BD上，AC⊥BD，CA=CD，點E在線段CA上，且滿足DE=AB，連接DE并延長交AB于點F．
（1）求證：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，設EF=x，則△ABD的面積用代數式可表示為；S△ABD=

1

2

c(c+x)你能借助本題提供的圖形，證明勾股定理嗎？試一試吧．

Answer 1

分析：（1）首先證明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，進而求出∠AFE=180°-（∠BAC+∠AEF）=90°，即可得出答案；
（2）根據S_△ABD=S_△BCE+S_△ACD+S_△ABE，S△ABD=

1

2

c(c+x)得出a²+b²=c²即可．

解答：（1）證明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，

CA=CD DE=AB

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）
∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的對應角相等），
∵∠AEF=∠DEC（對頂角相等），∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形兩銳角互余），
∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．
∴∠AFE=180°-（∠BAC+∠AEF）=90°．
∴DE⊥AB．

（2）解：由題意知：
S_△ABD=S_△BCE+S_△ACD+S_△ABE=

1

2

a²+

1

2

b²+

1

2

cx，
∵S△ABD=

1

2

c(c+x)，
∴

1

2

a2+

1

2

b2+

1

2

cx=

1

2

c(c+x)．
∴a²+b²=c²．

點評：此題主要考查了勾股定理的證明和全等三角形的判定與性質，根據圖形面積得出S_△ABD=S_△BCE+S_△ACD+S_△ABE=

1

2

a²+

1

2

b²+

1

2

cx是解題關鍵．