Question

如圖，在平面直角坐標系xoy內，點P在直線y=

1

2

x上（點P在第一象限），過點P作PA⊥x軸，垂足為點A，且OP=2

5

．
（1）求點P的坐標；  
（2）如果點M和點P都在反比例函數y=

k

x

(k≠0)圖象上，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，如果△MNA和△OAP全等（點M、N、A分別和點O、A、P對應），求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據P點在直線y=

1

2

x上，可設P（2x，x），其中x＞0，再根據勾股定理可得AO²+AP²=OP²，即(2x)2+x2=(2

5

)2，解得x=2即可計算出P點坐標．
（2）根據P點坐標計算出反比例函數解析式，當△MNA和△APO全等時，分以下兩種情況：①點N在點A的左側時，②點N在點A的右側時，分別計算出M點坐標，再討論是否在反比例函數圖象上即可．

解答：解：（1）∵PA⊥x軸，垂足為點A．
∴∠PAO=90°，
∵點P在直線y=

1

2

x上（點P在第一象限），
∴設P（2x，x），其中x＞0，
∴AO=2x，PA=x，
∵AO²+AP²=OP²，
∴(2x)2+x2=(2

5

)2，
解得：x=2
∴P（4，2）；

（2）∵點P在反比例函數y=

k

x

(k≠0)的圖象上，
∴2=

k

4

，
∴k=8，
∴y=

8

x

，
在Rt△PAO中，∠PAO=90°，PA=2，AO=4，
∵∠MNA=90°，
當△MNA和△APO全等時，分以下兩種情況：
①點N在點A的左側時，MN=AO=4，AN=2，
∴ON=OA-AN=4-2=2，
∴M（2，4）．且點M在反比例函數y=

8

x

的圖象上．
②點N在點A的右側時，AO=MN=4，AN=2，
∴ON=AN+AO=4+2=6．
∴M（6，4），但點M不在反比例函數y=

8

x

的圖象上，
綜合①②，滿足條件的點M（2，4）．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及全等三角形的判定與性質，利用數形結合得出是解題關鍵．