Question

（2004•四川）已知關(guān)于x的方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0…①的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根中有一個(gè)根為0．是否存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0…②的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂之差的絕對(duì)值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題先要從第一個(gè)方程的判別式及有一個(gè)根為0出發(fā)，確定實(shí)數(shù)m的值，然后將m的值代入第二個(gè)方程并將其化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系根據(jù)題意看看能否找出k的值．
解答：解：把x=0代入得m²-2m-3=0．
解得m=3或-1．
∵方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．
∴[-2（m+1）]²-4×（m²-2m-3）＞0．
解得m＞-1．
∴m=3．
∵x₁，x₂之差的絕對(duì)值為1．
∴（x₁-x₂）²=1．
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1．
（k-3）²-4（-k+4）=1．
解得k₁=-2，k₂=4．
∵當(dāng)k=-2時(shí)，△=[-（k-3）]²-4（-k+4）
=k²-2k-7
=（-2）²-2×（-2）-7
=1＞0
當(dāng)k=4時(shí)，△=k²-2k-7=4²-2×4-7=1＞0．
∴存在實(shí)數(shù)k=-2或4，使得方程②的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的絕對(duì)值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)探索存在性問(wèn)題，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，按照題意直接推理是解這類(lèi)問(wèn)題的基本方法．