Question

如圖，Rt△ABC內接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分線AD與⊙0交于點D，與BC交于點E，延長BD，與AC的延長線交于點F，連結CD，G是CD的中點，連結0G．

1.判斷0G與CD的位置關系，寫出你的結論并證明；

2.求證：AE=BF；

3.若OG·DE=3(2-)，求⊙O的面積．

 

Answer 1

【答案】

 

1.OG⊥CD

2.見解析。

3.6π

【解析】本題考查圓的相關內容。如相切等。本題利用等腰三角形的性質證明Rt△ACE≌Rt△BCF然后利用相似和全等求解相關問題。

(1)猜想：OG⊥CD.

證明：如圖，連結OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中點，

∴由等腰三角形的性質，有CG⊥CD. （3分）

(2)證明： ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB＝90°.

在Rt△ACE和Rt△BCF中

∠CAE=∠CBF, ∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC.

∴Rt△ACE≌Rt△BCF

∴AE=BF. （7分）

(3)解:過點O作BD的垂線,垂足為H.則H為BD的中點.

∴OH=AD,即AD=2OH.

又∠CAD=∠BAD ,∴CD=BD, ∴OH=OG.

在Rt△BDE和Rt△ADB中,∠DBE=∠DAC=∠BAD,

∴Rt△BDE∽Rt△ADB, ∴BD=AD·DE=2OG·DE=6(2-)

又BD=FD, ∴BF=2BD. ∴BF=4BD=24(2-).……①

設AC=x,則BC=x,AB=x.

∵AD是∠BAC的平分線，∴∠FAD=∠BAD.

在Rt△ABD和Rt△AFD中，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，

∴Rt△ABD≌Rt△AFD.∴AF=AB=x-x=(-1)x

在Rt△BCF中BF=BC+CF=x+[(-1)x] =2(2-)x……②

由①、②解得x=2或-2（舍去）.

∴AB=x=·2=2.

∴S=π·（2）=6π