Question

28、如圖（1），正方形ABCD中，點H從點C出發，沿CB運動到點B停止．連接DH交正方形對角線AC于點E，過點E作DH的垂線交線段AB、CD于點F、G．
（1）求證：DH=FG；
（2）在圖（1）中延長FG與BC交于點P，連接DF、DP（如圖（2）），試探究DF與DP的關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點F作FP⊥DC于點P，因為正方形四邊相等，四個角都是直角，從而證明△FPG≌△DCH，從而得出結論．
（2）因為正方形的四個邊相等，四個角都是直角，所以很容易證明△FRE≌△DME≌△ENP所以FE=DE=EP，DE⊥FP，從而DF與DP的關系為相等且垂直．

解答：（1）證明：過點F作FP⊥DC于點P，
在正方形ABCD中易證FP=DC，（1分）
又因為FP⊥DC，易證∠PFG=∠HDC，（2分）
∵FP=DC，∠PFG=∠HDC，∠FPG=∠DCH=90°，
∴△FPG≌△DCH，（3分）
∴DH=FG；（4分）

（2）過點E分別作AD、BC的垂線，交AD、BC于點M、N，交AB、CD于點R、T．
∵點E在AC上，可得四邊形AREM、ENCT是正方形．（6分）
∴△FRE≌△DME≌△ENP，
∴FE=DE=EP，（8分）
又∵DE⊥FP，
∴DF與DP的關系為相等且垂直．（9分）

點評：本題考查正方形的性質，四邊相等，四個角是直角，以及全等三角形的判定和性質等．