Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，點A的橫坐標為-1，過點C（0，3）的直線y=-x+3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）確定b，c的值；
（2）寫出點B，Q，P的坐標（其中Q，P用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）已知拋物線過A（-1，0）、C（0，3），則有：
，
解得，
因此b=，c=3；

（2）令拋物線的解析式中y=0，則有-x²+x+3=0，
解得x=-1，x=4；
∴B（4，0），OB=4，
因此BC=5，
在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，BC=5，
∴sin∠CBO=，cos∠CBO=，
在直角三角形BHP中，BP=5t，
因此PH=3t，BH=4t；
∴OH=OB-BH=4-4t，
因此P（4-4t，3t）．
令直線的解析式中y=0，則有0=-x+3，x=4t，
∴Q（4t，0）．

（3）存在t的值，有以下三種情況
①如圖1，當PQ=PB時，
∵PH⊥OB，則QH=HB，
∴4-4t-4t=4t，
∴t=，
②當PB=QB得4-4t=5t，
∴t=，
③當PQ=QB時，在Rt△PHQ中有QH²+PH²=PQ²，
∴（8t-4）²+（3t）²=（4-4t）²，
∴57t²-32t=0，
∴t=，t=0（舍去），
又∵0＜t＜1，
∴當或或時，△PQB為等腰三角形．
分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線中即可求得待定系數的值．
（2）根據拋物線的解析式可求得B點的坐標，即可求出OB，BC的長，在直角三角形BPH中，可根據BP的長和∠CBO三角函數求出PH，BH的長，進而可求出OH的長，也就求出了P點的坐標．Q點的坐標，可直接由直線CQ的解析式求得．
（3）本題要分情況討論：
①PQ=PB，此時BH=QH=BQ，在（2）中已經求得了BH的長，BQ的長可根據B、Q點的坐標求得，據此可求出t的值．
②PB=BQ，那么BQ=BP=5t，由此可求出t的值．
③PQ=BQ，已經求得了BH的長，可表示出QH的長，然后在直角三角形PQH中，用BQ的表達式表示出PQ，即可用勾股定理求出t的值．
點評：本題考查了二次函數的確定以及等腰三角形的判定等知識點．要注意的是（3）題中在不確定等腰三角形的腰和底的情況下腰分類討論，不要漏解．