Question

根據題意，解答下列問題：

（1）如圖①，已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求線段AB的長；
（2）如圖②，類比（1）的求解過程，請你通過構造直角三角形的方法，求出兩點M（3，4），N（-2，-1）之間的距離；
（3）如圖③，P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，y₂）是平面直角坐標系內的兩點．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線y=2x+4與x軸、y軸交點的特點：與x軸相交時，y=0，求得x的值；與y軸相交時，x=0，求得y的值；
（2）、（3）通過構造直角三角形的方法，解得MN與P₁P₂的值．
解答：（1）解：由y=0，得x=-2，所以點A的坐標為（-2，0），故OA=2．（1分）
同理可得OB=4． （2分）
所以在Rt△AOB中，AB=；（3分）

（2）解：作MP⊥x軸，NP⊥y軸，MP交NP于點P．（4分）
則MP⊥NP，P點坐標為（3，-1）．（5分）
故PM=4-（-1）=5，PN=3-（-2）=5．（6分）
所以在Rt△MPN中，MN=；（7分）
（注：若直接運用了（3）的結論不得分．）

（3）證明：作P₂P⊥x軸，P₁P⊥y軸，P₂P交P₁P于點P．
則P₂P⊥P₁P，點P的坐標為（x₂，y₁）．（8分）
故P₂P=y₂-y₁，P₁P=x₂-x₁．（不加絕對值符號此處不扣分）（9分）
所以在Rt△P₂P₁P中，．（10分
點評：本題主要考查一次函數圖象與X軸、Y軸交點的特點與解直角三角形，同時考查了數形結合思想，綜合性很強，值得學生去思考．