Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓周上的一點，過點C的直線MN滿足∠MCA=∠CBA．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）過點A作AD⊥MN于點D，交⊙O于點E，已知AB=6，BC=3，求陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵AB是⊙O直徑，C為圓周上的一點，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90°，
即OC⊥MN，
∵OC為半徑，
∴直線MN是⊙O的切線；

（2）解：連接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B==，
∴∠B=60°，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等邊三角形，
∴OC=AE，四邊形AOCE是平行四邊形，故S_△EAC=S_△EOC，
于是S_陰影=S_△ADC-S_扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC=3，AB=6，∴AC=3，
在Rt_△ADC中，AC=3，∠DCA=∠B=60°，∴DC=，AD=，
∴S_△ADC=AD•DC=，而S_扇形EOC==，
于是S_陰=S_△ADC-S_扇形EOC=．
分析：（1）連接OC，求出∠ACB=90°，求出∠B=∠OCB=∠DCA，∠OAC=∠OCA，根據(jù)∠B+∠CAB=90°推出∠OCA+∠DCA=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接OE，CE，得出OC∥AE，求出∠B=60°，推出△OBC是等邊三角形，△OEA是等邊三角形，推出OC=AE，四邊形AOCE是平行四邊形，故S_△EAC=S_△EOC，得出S_陰影=S_△ADC-S_扇形EOC，分別求出△ADC和扇形EOC的面積，代入后求出即可．
點評：本題考查了切線的性質和判定，等腰三角形的性質，扇形的面積，三角形的面積，平行四邊形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生的計算和推理能力，題目綜合性比較強，難度偏大．