Question

已知二次函數y=x²+ax+a-2．
（1）求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點；
（2）設a＜0，當此函數圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式；
（3）若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4＞0，
所以不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點．

（2）設x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的兩個根，則x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，因兩交點的距離是，
所以．
即：（x₁-x₂）²=13
變形為：（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=13
即（-a）²-4（a-2）=13
整理得：（a-5）（a+1）=0
解方程得：a=5或-1
又∵a＜0
∴a=-1
∴此二次函數的解析式為y=x²-x-3．

（3）設點P的坐標為（x₀，y₀），
∵函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，
∴AB=
∴S_△PAB=AB•|y₀|=
∴=
即：|y₀|=3，則y₀=±3
當y₀=3時，x₀²-x₀-3=3，即（x₀-3）（x₀+2）=0
解此方程得：x₀=-2或3
當y₀=-3時，x₀²-x₀-3=-3，即x₀（x₀-1）=0
解此方程得：x₀=0或1
綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．
分析：（1）由判別式△=b²-4ac可證明a為任一實數．
（2）先求出兩根之和及兩根之積的值，再利用兩點距離公式求解．
（3）利用第2小題中兩個交點的距離為來進行計算．
點評：要求熟悉二次函數與一元二次方程的關系和坐標軸上兩點距離公式|x₁-x₂|，并熟練運用．