【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， OE垂直于弦BC，垂足為F，OE交⊙O于點D，且∠CBE=2∠C．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）若DF=9，tanC=
，求直徑AB的長．
【答案】（1）見解析；（2）25
【解析】
（1）由OE垂直于弦BC，可證∠BOE+∠OBF=90°，由圓周角定理可得∠BOE=2∠C，從而∠CBE=∠BOE，進而可證BE與⊙O相切；
（2）由DF=9，tanC=
，可求出CF=BF=12，設半徑長是x，在Rt△BOF中，利用勾股定理列方程求解即可．
（1）證明：∵OE垂直于弦BC，
∴∠BOE+∠OBF=90°，
∵∠CBE=2∠C， ∠BOE=2∠C，
∴∠CBE=∠BOE，
∴∠CBE+∠OBF=90°，
∴∠OBE=90°，
∴BE與⊙O相切；
（2）解：∵OE垂直于弦BC，
∴∠CFD=∠BFO=90°，CF=BF．
∵DF=9，tanC=，
∴CF=BF=12．
設半徑長是x，則OF=x-9，
在Rt△BOF中，
∵x2=(x-9)2+122，
∴x=
，
∴直徑AB=25．
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【題目】歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程
的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程
的一個正根．如圖，一張邊長為1的正方形的紙片
，先折出
、
的中點
、
，再折出線段
，然后通過沿線段折疊使落在線段
上，得到點
的新位置
，并連接
、
，此時，在下列四個選項中，有一條線段的長度恰好是方程的一個正根，則這條線段是（ ）
A.線段
B.線段
C.線段
D.線段
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【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸負半軸交于B，與正半軸交于點C（8，0），且∠BAC＝90°．
（1）求該二次函數解析式；
（2）若N是線段BC上一動點，作NE∥AC，交AB于點E，連結AN，當△ANE面積最大時，求點N的坐標；
（3）若點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，設所得△PAC的面積為S．問：是否存在一個S的值，使得相應的點P有且只有2個？若有，求出這個S的值，并求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
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【題目】探究：如圖1和2,四邊形
中,已知
，
，點
，
分別在
、
上，
．
（1）①如圖 1,若
、
都是直角，把
繞點
逆時針旋轉
至
，使
與
重合，則能證得
，請寫出推理過程；
②如圖 2，若、
都不是直角，則當與滿足數量關系_______時，仍有;
（2）拓展：如圖3,在
中，
,
，點
、均在邊上,且
．若
，求
的長．
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【題目】下列說法正確的是( )
A.為了解全國中學生視力的情況，應采用普查的方式
B.某種彩票中獎的概率是
，買1000張這種彩票一定會中獎
C.從2000名學生中隨機抽取200名學生進行調查，樣本容量為200名學生
D.從只裝有白球和綠球的袋中任意摸出一個球，摸出黑球是確定事件
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【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系，直線AB與x軸交于點A(-2，0)，與反比例函數在第一象限內的圖象的交于點B(2，n)，連接BO，若
=4．
(1)求該反比例函數的解析式和直線AB的解析式；
(2)設直線AB交y軸于點C，點C是否為線段AB的中點？請說明理由．
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【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，ΔECG是等腰直角三角形，∠BGE的平分線過點D交BE 于H，O是EG的中點，對于下面四個結論：①GH⊥BE；②OH∥BG，且
；③
；④△EBG的外接圓圓心和它的內切圓圓心都在直線HG上．其中表述正確的個數是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】探索應用
材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為 ，用a．c和θ表示△ABC的面積為 ．
材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CFBF＝QFPF．
材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一，最早出現在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．
定理：如圖3，M為弦PQ的中點，過M作弦AB和CD，連結AD和BC交PQ分別于點E和F，則ME＝MF．
證明：設∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，
∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，
PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y
由
即
化簡得：MF2AEED＝ME2CFFB
則有：
,
又∵CFFB＝QFFP，AEED＝PEEQ，
∴
，即
即
，從而x＝y，ME＝MF．
請運用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：
如圖4，B、C為線段PQ上的兩點，且BP＝CQ，A為PQ外一動點，且滿足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結論．
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【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．
（1）試說明DF是⊙O的切線；
（2）若AC=3AE，求tanC．
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