Question

（2004•濰坊）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦AB的長為2，點C與點D分別是劣弧AB與優弧ADB上的任一點（點C、D均不與A、B重合）．
（1）求∠ACB；
（2）求△ABD的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA、OB，作OE⊥AB，E為垂足，要求∠ACB的度數，根據圓內接四邊形的性質只需求得∠ADB的度數，
再根據圓周角定理只需求得圓心角∠AOB的度數，根據等腰三角形的三線合一，只需求得∠AOE的度數，
根據垂徑定理求得AE的長，根據銳角三角函數即可由邊之間的關系求得∠AOE的度數，進一步求得∠AOB的度數；
（2）要求△ABD的最大面積，由于AB是個定值，只需使AB邊上的高最大，即點D是優弧AB的中點，即作DF⊥AB，當DF經過圓心O時，DF取最大值．根據半徑和AB的弦心距即可求得．
解答：解：（1）連接OA、OB，作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，∴AE=BE，
Rt△AOE中，OA=2，AE=，
所以sin∠AOE=，
∴∠AOE=60°，（2分）
∠AOB=2∠AOE=120°，
又∠ADB=∠AOB，
∴∠ADB=60°，（3分）
又四邊形ACBD為圓內接四邊形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
從而有∠ACB=180°-∠ADB=120°；（5分）

（2）作DF⊥AB，垂足為F，則：S_△ABD=×2DF，（6分）
顯然，當DF經過圓心O時，DF取最大值，
從而S_△ABD取得最大值，
此時DF=DO+OF=2+2sin30°=3，s_△ABD=×6，
即△ABD的最大面積是3．         （7分）
點評：（1）中，主要是能夠把已知的線段構造到一個直角三角形中，也可以作直徑AM，根據銳角三角函數的知識求得角的度數，再進一步根據圓周角定理和圓內接四邊形的性質進行計算；
（2）中，能夠分析出面積最大值時，點D的位置．