Question

如圖，直線y=

3

（x+1）分別與x軸、y軸相交于A、B兩點，等邊△ABC的頂點C在第二象限．
（1）在所給圖中，按尺規(guī)作圖要求，求作等邊△ABC（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、C兩點，求k、b的值；
（3）以坐標(biāo)原點O為圓心、OB的長為半徑的圓交線段CA于點D，交CA的延長線于點E．求證：BD⊥CE．

Answer 1

分析：（1）在所給圖中，按尺規(guī)作圖要求，求作等邊△ABC，三角形的頂點C，應(yīng)該在線段AB的垂直平分線上，并且到A得距離是AB的長；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以求出C點的坐標(biāo)，A點的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式，得到k，b的值；
（3）只要證明BE是圓的直徑就可以．

解答：（1）解：圖如右，

（2）解：在直線y=

3

（x+1）中令x=0，y=0分別解得y=

3

，x=-1，
因而A，B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（0，

3

），
則tan∠BAO=

3

，
∴∠BAO=60°，△ABC是等邊三角形，
∴過點C作CD⊥x軸與D，則∠CAD=60°，CD=

3

，AD=1，因而C的坐標(biāo)（-2，

3

）
根據(jù)題意得到

-k-b=0 -2k-b= 3

，解得

b= 3 k=- 3

；

（3）證明：直線AC的解析式是y=-

3

x-

3

，
在這個函數(shù)中令x=0，解得y=-

3

，
則OB=OE，即BE是圓的直徑，因而BD⊥CE．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及圓周角的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角．