Question

【題目】如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點；

（2）若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形．理由見解析.

【解析】分析：（1）因為AF∥BC，E為AD的中點，即可根據AAS證明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四邊形AFDC是平行四邊形，又因為AD=CF，故可根據對角線相等的平行四邊形是矩形進行判定．

詳解：（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵點E為AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD，

∴D是BC的中點；

（2）解：若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AFBD是矩形．