Question

【題目】已知：梯形中，，，，，分別交射線、射線于點、．

（1）當點為邊的中點時（如圖1），求的長：

（2）當點在邊上時（如圖2），聯結，試問：的大小是否確定？若確定，請求出的正切值；若不確定，則設，的正切值為，請求出關于的函數解析式，并寫出定義域；

（3）當的面積為3時，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）確定，；（3）25或73

【解析】

（1）證明△AED，△BEF，△DFC都是等腰直角三角形即可解決問題．

（2）如圖2中，連接BD．取EC的中點O，連接OD，OB．證明E，B，C，D四點共圓，可得∠DCE＝∠ABD即可解決問題．

（3）如圖2﹣1中，連接AF．設AE＝x，FB＝y，EB＝m，由S△AEF＝AEFB＝3，推出xy＝6，由AD∥FB，推出＝，推出＝，可得xy＝3m，推出6＝3m，推出m＝2，可得EB＝2，AE＝4，再利用勾股定理求出DE，DC即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠ABC＝∠A＝90°，

∵AE＝EB＝3，AD＝3，

∴AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE＝∠BEF＝∠F＝45°，

∴EF＝DE＝3，FB＝3，

∵DF⊥DC，

∴∠FDC＝90°，

∴∠C＝∠F＝45°，

∴DF＝DC＝6，

∴CF＝DC＝12，

∴BC＝CF﹣BF＝12﹣3＝9．

（2）結論：：∠DCE的大小是定值．

理由：如圖2中，連接BD．取EC的中點O，連接OD，OB．

∵∠EBC＝∠EDC＝90°，EO＝OC，

∴OD＝OE＝OC＝OB，

∴E，B，C，D四點共圓，

∴∠DCE＝∠ABD，

∵在Rt△ADE中，tan∠ABD＝＝，

∴∠ABDspan>的大小是定值，

∴∠DCE的大小是定值，

∴tan∠DCE＝．

（3）如圖2﹣1中，連接AF．

設AE＝x，FB＝y，EB＝m，

∵S△AEF＝AEFB＝3，

∴xy＝6，

∵AD∥FB，

∴＝，

∴＝，

∴xy＝3m，

∴6＝3m，

∴m＝2，

∴EB＝2，AE＝4，

在Rt△AED中，DE＝＝5，

在Rt△DEC中，∵tan∠DCE＝＝，

∴DC＝10，

∴S△DEC＝DEDC＝×5×10＝25．