Question

已知⊙O的半徑為5cm，弦AB∥弦CD，AB=6cm，CD=8cm，直線OM⊥AB于M點，交CD于N點，則MN=

1cm或7cm

cm．

Answer 1

分析：根據圓心O的位置分兩種情況考慮：當圓心O在兩條弦之間時，如圖所示，連接OA，OC，由AB與CD平行，OM與AB垂直，根據和平行線中一條直線垂直的直線，與另一條也垂直得到ON垂直于CD，利用垂徑定理可得M、N分別為AB、CD的中點，進而由AB及CD的長求出AM及CN的長，在直角三角形AOM和直角三角形CON中，由半徑OA及OC的值，利用勾股定理分別求出OM及ON的長，由OM+ON即可求出MN的長；當圓心O在兩條弦同側時，如圖所示，同理求出OM及ON的長，由OM-ON即可求出此時MN的長，綜上，得到所有滿足題意的MN的長．

解答：解：當圓心O在AB與CD之間時，如圖所示：

連接OA，OC，
∵AB∥CD，直線OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴M、N分別為AB、CD的中點，
又AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=

1

2

AB=3cm，CN=

1

2

CD=4cm，
在Rt△AOM中，OA=5cm，AM=3cm，
根據勾股定理得：OM=

OA2-AM2

=4cm，
在Rt△OCN中，OC=5cm，CN=4cm，
根據勾股定理得：ON=

OC2-CN2

=3cm，
則MN=OM+ON=4+3=7cm；
當圓心O在AB與CD同側時，如圖所示：

連接OA，OC，
∵AB∥CD，直線OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴M、N分別為AB、CD的中點，
又AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=

1

2

AB=3cm，CN=

1

2

CD=4cm，
在Rt△AOM中，OA=5cm，AM=3cm，
根據勾股定理得：OM=

OA2-AM2

=4cm，
在Rt△OCN中，OC=5cm，CN=4cm，
根據勾股定理得：ON=

OC2-CN2

=3cm，
則MN=OM-ON=4-3=1cm，
綜上，MN=1cm或7cm．
故答案為：1cm或7cm

點評：此題考查了平行線的性質，垂徑定理，以及勾股定理，利用了數形結合及分類討論的思想，在圓中，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．