Question

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=ax+b（a≠0）與x軸、y軸分別交于點C、B，與反比例函數（k≠0）相交于A、D兩點，其中BD=5，BO=2，sin∠OBC=．
（1）分別求出反比例函數和直線AB的解析式；
（2）連接OD，求△COD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D點作DH⊥y軸于H，垂足為H，如圖所示，在直角三角形BDH中，由BD及sin∠OBC的值，利用銳角三角函數定義求出DH的長，再利用勾股定理求出BH的長，由BH+OB求出OH的長，確定出D的坐標，將D的坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將B和D的坐標代入一次函數解析式中得到關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，確定出一次函數解析式；
（2）令一次函數解析式中y=0求出對應x的值，求出C的坐標，確定出OC的長，三角形COD以OC為底邊，D的縱坐標為高，利用三角形的面積公式求出即可．
解答：解：（1）過D點作DH⊥y軸于H，垂足為H，如圖所示：
在Rt△BDH中，BD=5，sin∠OBC=，
∴DH=BD•sin∠DBH=5×=3，
∴BH==4，OH=BH+OB=4+2=6，
∴點D的坐標為（3，-6），
將D的坐標代入中，解得：k=-18，
∴y=-，
∵將D（3，-6），B（0，-2）代入y=ax+b中，
得，
解這個方程組得：，
∴y=-x-2；
（2）連接OD，
在y=-x-2中，令y=0，得-x-2=0，
解這個方程得：x=-，
∴OC=，
∴S_△COD=•OC•|y_D|=××6=．
點評：此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，銳角三角函數定義，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點，以及三角形的面積求法，利用了待定系數法，待定系數法是數學中重要的思想方法，學生做題時注意靈活運用．