Question

先閱讀并完成第（1）題，再利用其結論解決第（2）題．
（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實根為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-，x₁•x₂=．這個結論是法國數學家韋達最先發現并證明的，故把它稱為“韋達定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x₁+x₂和 x₁•x₂的值，進而求出相關的代數式的值．
請你證明這個定理．
（2）對于一切不小于2的自然數n，關于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的兩個根記作a_n，b_n（n≥2），
請求出+…的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用求根公式x=求得該方程的兩個實數根，然后再來求得x₁+x₂=-，x₁•x₂=；
（2）由根與系數的關系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
則=-（-），然后代入即可求解．
解答：解：（1）根據求根公式x=知，
x₁=，x₂=，
故有x₁+x₂=+=-，x₁•x₂=×=；

（2）∵根與系數的關系知，a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
∴（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
∴=-（-），
∴+…
=-[（-）+（-）+…+（-）]
=-×（-）
=-．
點評：本題考查了根與系數的關系．在證明韋達定理時，借用了求根公式x=．