Question

已知y是x的二次函數，且其圖象在x軸上截得的線段AB長4個單位，當x=3時，y取得最小值-2．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若此函數圖象上有一點P，使△PAB的面積等于12個平方單位，求P點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸為x=3，以及AB=4，可求得A、B的坐標，然后根據其頂點坐標用頂點式二次函數通式設拋物線的解析式，然后將A或B點的坐標代入拋物線中即可求得二次函數的解析式．
（2）已知了AB的長，可根據三角形的面積求得P點縱坐標的絕對值，然后代入拋物線的解析式中即可求得P點的坐標．

解答：解：（1）∵當x=3時y取得最小值-2．
即拋物線頂點為（3，-2），對稱軸為直線x=3，
∴設二次函數解析式為y=a（x-3）²-2．
又∵圖象在x軸上截得線段AB的長是4，
∴圖象與x軸交于（1，0）和（5，0）兩點．
∴a（1-3）²-2=0，
∴a=

1

2

，
∴所求二次函數解析式為y=

1

2

x²-3x+

5

2

．

（2）∵△PAB的面積為12個平方單位，|AB|=4．
∴

1

2

×4×|Py|=12，
∴|Py|=6，
∴Py=±6．
但拋物線開口向上，函數值最小為-2，
∴Py=-6應舍去，
∴Py=6又點P在拋物線上，
∴6=

1

2

x²-3x+

5

2

，
解得，x₁=-1，x₂=7．
即點P的坐標為（-1，6）或（7，6）．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定以及圖形面積的求法等知識點．