Question

【題目】觀察圖，解答下列問題．

（1）圖中的小圓圈被折線隔開分成六層，第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈，…，第六層有11個圓圈．如果要你繼續畫下去，那么第八層有幾個小圓圈？第n層呢？
（2）某一層上有65個圓圈，這是第幾層？
（3）數圖中的圓圈個數可以有多種不同的方法．
比如：前兩層的圓圈個數和為（1+3）或22 ，
由此得，1+3=22 ．
同樣，
由前三層的圓圈個數和得：1+3+5=32 ．
由前四層的圓圈個數和得：1+3+5+7=42 ．
由前五層的圓圈個數和得：1+3+5+7+9=52 ．
…
根據上述請你猜測，從1開始的n個連續奇數之和是多少？用公式把它表示出來．
（4）計算：1+3+5+…+99的和；
（5）計算：101+103+105+…+199的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：第八層有15個小圓圈，第n層有（2n﹣1）個小圓圈
（2）解：令2n﹣1=65，
得，n=33．
所以，這是第33層
（3）解：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
（4）解：1+3+5+…+99=502=2500
（5）解：101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）
=1002﹣502
=7500
【解析】（1）根據題意可知每一層圓圈個數是連續奇數，則第n層為2n+1；（2）由（1）和已知條件某一層上有65個圓圈可列方程求解；（3）根據已知條件可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；（4）由（3）可得1+3+5+…+99=502；（5）將101+103+105+…+199轉化成（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）求解即可。