Question

（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求的度數．

（2）如圖②，在Rt△ABD中，，，點M，N是BD邊上的任意兩點，且，將△ABM繞點A逆時針旋轉至△ADH位置，連接，試判斷MN，ND，DH之間的數量關系，并說明理由．

（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若，，，求AG，MN的長．

 

 

Answer 1

（1） 45°．（2） MN2=ND2+DH2．理由見解析；（3）5.

【解析】

試題分析：（1）根據高AG與正方形的邊長相等，證明三角形全等，進而證明角相等，從而求出解．

（2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結論．

（3）設出線段的長，結合方程思想，用數形結合得到結果．

試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．

∴∠BAE=∠GAE．

同理，∠GAF=∠DAF．

∴∠EAF=∠BAD=45°．

（2）MN2=ND2+DH2．

∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．

∴∠HAN=∠MAN．

又∵AM=AH，AN=AN，

∴△AMN≌△AHN．

∴MN=HN．

∵∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．

∴NH2=ND2+DH2．

∴MN2=ND2+DH2．

（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．

設AG=x，則CE=x-4，CF=x-6．

在Rt△CEF中，

∵CE2+CF2=EF2，

∴（x-4）2+（x-6）2=102．

解這個方程，得x1=12，x2=-2（舍去負根）．

即AG=12．（8分）

在Rt△ABD中，

∴BD=．

在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，

∴MN2=ND2+BM2．

設MN=a，則a2=（12-3-a）2+（3）2．

即a 2=（9-a） 2+（3） 2，

∴a=5．即MN=5.

考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.勾股定理．