Question

某校研究性學習小組在研究有關二次函數及其圖象性質的問題時，發現了兩個重要的結論：一是發現拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)，當實數a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發現當實數a變化時，若把拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點的橫坐標減少，縱坐標增加，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y＝ax²＋2x＋3上．

(1)請你協助探求實數a變化時，拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點所在直線的解析式；

(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由；

(3)在他們第二個發現的啟發下，運用“一般——特殊——一般”的思想，你還能發現什么？你能用數學語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想成立嗎？若能成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)當時，的頂點坐標為；當時，的頂點坐標為． 　　設拋物線的頂點在直線上，將、代入，得 　　解得 　　即拋物線的頂點在直線上． 　　(或由拋物線的頂點坐標為，得其頂點在直線上) 　　(2)直線上有一個點(0，3)不是拋物線的頂點． 　　拋物線的頂點坐標為， 　　當a≠0時，頂點橫坐標≠0．∴點(0，3)不是拋物線的頂點． 　　(3)得出猜想：對于拋物線(a≠0)，將其頂點的橫坐標增加或減少，縱坐標增加，所得到的兩個點一定仍在拋物線上．(其他猜想，只要合理也對) 　　理由：∵拋物線的頂點坐標為， 　　∴將其橫坐標減少，縱坐標增加，得． 　　同理可得．把代入， 　　得． 　　∴點A在拋物線上．同理可證點B在拋物線上． 　　∴所提出的猜想能夠成立．(此問題可利用的形式進行證明，過程同上)