Question

如圖（1）是面積為1的陰影三角形，連接它的各邊中點．挖去中間的三角形得到圖（2）．再分別連接剩下的每個陰影三角形的各點中點．挖去中間的三角形得到圖（3）．再用同樣的方法得到圖（4）．則圖（4）中陰影部分的面積為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  9

  16

• C．

  9

  64

• D．

  27

  64

Answer 1

分析：根據三角形的中位線得出DE∥BC，DE=

1

2

BC，推出△ADE∽△ABC，

DE

BC

=

1

2

，求出△DEF∽△ACB，推出△DEF和△ACB的面積比是（

1

2

）²=

1

4

，求出△DEF的面積，同理求出△GHI和△KZM的面積，根據圖形求出即可．

解答：解：∵D是AB中點，E為AC中點，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴△ADE∽△ABC，

DE

BC

=

1

2

，
∴

S△ADE

S△ABC

=（

1

2

）²=

1

4

，
∵D是AB中點，E為AC中點，F為BC中點，
∴DE=

1

2

BC，EF=

1

2

AB，DF=

1

2

AC，
∴

DE

BC

=

EF

AB

=

DF

AC

=

1

2

，
∴△DEF∽△ACB，
∴

S△DEF

S△ACB

=（

1

2

）²=

1

4

，
∵△ABC的面積是1，
∴△DEF的面積是

1

4

，
∴S_△DEF=S_△ADE，
∴S_△DEF=S_△ADE=

1

4

S_△ABC=

1

4

，
同理求出△GHI和△DEF的面積比是1：4，即

S△GHI

S△DEF

=

1

4

，
∴△GHI的面積是

1

4

×

1

4

=

1

16

，
同理求出△KMZ和△GHI的面積比是1：4，即

S△KMZ

S△GHI

=

1

4

，
∴△KMZ的面積是

1

4

×

1

16

=

1

64

∴陰影部分的面積是1-

1

4

-3×

1

16

-9×

1

64

=

27

64

．
故選D．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，三角形的面積，三角形的中位線等知識點，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．