Question

（2004•聊城模擬）如圖，正方形MNPQ網格中，每個小方格的邊長都相等，正方形ABCD的頂點在正方形MNPQ的4條邊的小方格頂點上．
（1）設正方形MNPQ網格內的每個小方格的邊長為1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面積；②正方形ABCD的面積；
（2）設MB=a，BQ=b，利用這個圖形中的直角三角形和正方形的面積關系，你能驗證已學過的哪一個數學公式或定理嗎？相信你能給出簡明的推理過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形的面積公式：S=兩條直角邊的乘積的一半進行計算；
（2）顯然根據面積能夠驗證勾股定理以及完全平方公式．
解答：解：（1）∵網格中每個小正方形的邊長為1，
由圖可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°．
∴S_△ABQ=AQ•BQ=6；同理S_△BCM=S_△CDN=S_△ADP=6．
又∵MQ=7
∴S_{正方形MNPQ}=49．
∴S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ=49-4×6=25．

（2）勾股定理或完全平方公式．
（只要給出其一即可得1分）
驗證：在△BCM、△ABQ中．
∵∠M=∠Q=∠ABC=90°，∴∠MBC=∠QAB．
又∵AB=BC
∴△BCM≌△ABQ
同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵MB=a，BQ=b，S_{正方形MNPQ}=S_{正方形ABCD}+4S_△ABQ
∴（a+b）²=a²+b²+4×ab
即（a+b）²=a²+2ab+b²（完全平方公式）
或又∵S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ
∴AB²=（a+b）²-4×ab，即AB²=a²+b²．
設AB=c，得c²=a²+b²（勾股定理）
點評：掌握運用面積的計算方法證明勾股定理以及一些公式．