Question

取一張矩形的紙，按如下操作過程折疊：
第一步：將矩形ABCD沿MN對折，如圖1；第二步：把B點(diǎn)疊在折痕MN上，新折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對應(yīng)點(diǎn)為B′，如圖2；第三步：展開，得到圖3．
（1）你認(rèn)為∠BAE的度數(shù)為

 

；
（2）利用圖3試證明（1）的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）可先猜測三個(gè)角相等，且和為90°，那么每個(gè)角是30°；
（2）先過點(diǎn)B′作B′F⊥AD于F，矩形ABCD關(guān)于MN對折，所以有AM=BM=

1

2

AB，∠AMB′=90°，所以四邊形AMB′F是矩形，又△ABE關(guān)于AE對折得到△AB′E，所以AB=AB′，BE=B′E，且∠BAE=∠B′AE，所以就有B′F=

1

2

AB′，可求出∠B′AF=30°，所以∠BAE=30°．

解答：（1）解：易得△B′MA為直角三角形，那么AM等于AB′的一半，即可得到∠MB′A=30°，
利用三角形內(nèi)角和定理可得∠MAB′=60°，那么∠BAE等于∠MAB′的一半，為30°；（3分）

（2）證明：過點(diǎn)B′作B′F⊥AD于F，（4分）

∵矩形ABCD沿MN對折，
∴MA=MB=

1

2

AB，∠AMB′=90°，（5分）
又∵∠MAF=∠B′FA=90°，
∴四邊形AFB′M是矩形，
∴B′F=AM，（6分）
∵AB=AB′，
∴B′F=

1

2

AB′，（8分）
∴∠B′AF=30°，
∴∠BAB′=60°，（9分）
又∵∠ABE=EAB′，
∴∠BAE=30°．（10分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了對折后得到的兩個(gè)圖形全等，如果直角三角形中一條直角邊等于斜邊的一半，那么這個(gè)直角邊所對的角是30°等知識．