Question

如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10）、（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；
（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；
（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題意，易得Q（1，0），結合P、Q得運動方向、軌跡，分析可得答案；
（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4，在Rt△AFB中，過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H，易得△ABF≌△BCH，進而可得C得坐標；
（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，易得△APM∽△ABF，根據相似三角形的性質，有

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

，設△OPQ的面積為S，計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，易得Q（1，0），
點P運動速度每秒鐘1個單位長度．

（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，
過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H．
∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC
∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∠FAB=∠CBH
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
∴AB=

62+82

=10，
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C點的坐標為（14，12）．

（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，
則△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

．∴

t

10

=

AM

6

=

MP

8

．∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t．
∴PN=OM=10-

3

5

t，  ON=PM=

4

5

t．
∵開始時Q（1，0），動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，
∴OQ=1+t，
設△OPQ的面積為S（平方單位）
∴S=

1

2

×(10-

3

5

t)(1+t)=5+

47

10

t-

3

10

t2（0≤t≤10）
∵a=-

3

10

＜0
∴當t=

47 10

2×(- 3 10 )

=

47

6

時，△OPQ的面積最大此時P的坐標為（

94

15

，

53

10

）．

點評：主要考查的圖形與函數的綜合應用，要熟練掌握相似的性質和正方形的性質，并能夠將他們與二次函數的應用有效的結合起來；解決此類問題，注意數形結合得思想的運用．