Question

【題目】閱讀材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，過點B作射線BE，點D為射線BE上的點，連接AD、CD，且∠BDC＝∠BAC，求證：AD平分∠CDE．小明認真觀察圖形，又發現一對相等的角，利用相等的一對角和一對邊，過點A作雙垂直，構造全等三角形，如圖2，從而將問題解決．

（1）根據閱讀材料，證明AD平分∠CDE；

用學過的知識或參考小明的方法，解決下面的問題：

（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AEF（點C的對應點為點F），連接BE、FC，延長FC交B于點M．

①找出圖中與∠BCM相等的角，并加以證明；

②猜想線段CF與BM之間的數量關系（用含α的式子表示），并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①∠BCM＝∠EFM，理由見解析；②猜想：FC＝2BMcosα，理由見解析。

【解析】

（1）如圖2中，作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N．利用全等三角形的性質證明AM＝AN即可．

（2）①結論：∠BCM＝∠EFM．利用等角的余角相等證明即可；②猜想：FC＝2BMcosα．如圖3中，連接AM，設AE交FM于點O．首先證明AM⊥BE，再利用相似三角形的性質即可證明．

（1）證明：如圖2中，作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N．

∵∠BDF＝∠CAF，∠DFB＝∠AFC，

∴∠DBF＝∠ACF，

∵∠AMB＝∠ANC＝90°，∠ABM＝∠ACN，AB＝AC，

∴△ABM≌△ACN（AAS），

∴AM＝AN，∵AM⊥DM，AN⊥DN，

∴AD平分∠CDE．

（2）解：①結論：∠BCM＝∠EFM．

理由：如圖3中，∵AC＝AF，

∴∠ACF＝∠AFC，

∵∠ACB＝∠AFE＝90°，

∴∠ACF+∠BCM＝90°，∠AFC+∠MFE＝90°，

∴∠BCM＝∠EFM．

③猜想：FC＝2BMcosα．

理由：如圖3中，連接AM，設AE交FM于點O．

∵∠CAB＝∠EAF＝α，

∴∠BAE＝∠CAF，

∵AC＝AF，AE＝AB，

∴∠AFC＝∠ACF＝∠AEB＝∠ABE，

∵∠AOF＝∠MOE，

∴△AOF∽△MOE，

∴，

∴，∵∠EOF＝∠AOM，

∴△EOF∽△MOA，

∴∠OAM＝∠EFO，

∵∠OFO＝∠∠OEM，∠OFA+∠EFO＝90°，

∴∠OAM+∠OEM＝90°，

∴∠AME＝90°，

∵AE＝AB，

∴BM＝BE，

∵△FAC∽△EAB，

∴＝cosα，

∴＝cosα，

∴FC＝2BMcosα．